在本节中，我们将介绍6种求前\(n\)个正整数的平方和的方法，首先对其进行定义：
$$S_n=\sum_{0\leq k\leq n}k^2, \qquad n\geq 0$$
对应的答案是：
$$S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}, \qquad n\geq 0$$
1. 数学归纳法
数学归纳法是一个相当有效并且简单的方法，但是问题必须提前知道对应的公式，才能使用归纳法验证是否正确。
归纳法的验证过程在这里不做赘述。
2.扰动法
抽出\(S_{n+1}\)的第一项和最后一项后：
$$\begin{align*}S_n+(n+1)^2&=\sum_{0\leq k\leq n}(k+1)^2=\sum_{0\leq k\leq n}(k^2+2k+1)\\ &=\sum_{0\leq k\leq n}k^2+2\sum_{0\leq k\leq n}k+\sum_{0\leq k\leq n}1\\&=S_n+2\sum_{0\leq k\leq n}k+(n+1) \end{align*}$$
会发现\(S_n\)相互抵消了，这样就无法继续。
但是这里我们发现虽然没有二次和，却意外得到了一次项的和的结果。这启发我们可以考虑利用立方和扰动法：
$$\begin{align*}T_n+(n+1)^3=\sum_{0\leq k\leq n}(k+1)^3=&\sum_{0\leq k\leq n}(k^3+3k^2+3k+1)\\ &=T_n+3S_ n+3\sum_{0\leq k\leq n}k+(n+1) \end{align*}$$
我们发现\(T_n\)约掉后刚好剩下了\(S_n\)，可以获得结果。
3. 积分代替和式
利用\(S_n\)和\(\int_{0}^{n}x^2dx\)几何意义表示的面积之差有：
$$S_n-\int_{0}^{n}x^2dx=\sum_{k=1}^{n}\left ( k^2-\int_{k-1}^{k}x^2dx \right )=\sum_{k=1}^{n}\left (k-\frac{1}{3} \right )$$
那么容易得到最后的结果。
4. 展开和收缩
有时可以将一重和式转化为二重和式的方式来化简计算：
$$\begin{align*}S_n&=\sum_{0\leq k\leq n}k^2=\sum_{0\leq j\leq k\leq n}k\\ &=\sum_{1\leq j\leq n}\sum_{j\leq k\leq n}k\\ &= \sum_{1\leq j\leq n}\left ( \frac{j+n}{2} \right )(n-j+1)\\&=\frac{1}{2}\sum_{1\leq j\leq n}\left ( n(n+1)+j-j^2 \right )\\&=\frac{1}{2}n^2(n+1)+\frac{1}{4}n(n+1)-\frac{1}{2}S_n \end{align*}$$
这里给了我们一个启示：一重到二重不一定是倒退，很多时候可以简化计算。
5. 有限微积分
这个方法将在求和符号学习历程（五）中详细讲解。
6. 用生成函数
将在后续章节中持续更新。