1. \(\sum\)简介
我们使用求和符号\(\sum\)表示和式，例如有
$$\sum_{k=1}^{n}k= 1+2+\cdots+n\tag{1,1}$$
\(k\)从\(1\)开始直至取到\(n\)，然后将其求和。
2. 两种符号
下列两种符号表示是完全一致的：
$$\sum_{k=1}^{n}a_{k}= \sum_{1\leq k\leq n}^{}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$$
前者称为确定界限形式，后者称为下列形式。
下列形式一般会更容易处理，例如将\(k \rightarrow k+1\)时:
$$\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_{k}=\sum_{1\leq k+1\leq n}^{}a_{k+1}$$
这样的变换非常容易，但是用确定界限形式则有
$$\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}$$
这样表示可能需要将其展开才能反应过来。
同时确定界限形式更加简洁，当要说明问题和结论时经常使用；而进行变换时使用下列式。
3. 命题形式的\(\sum\)
我们使用
$$\sum_{P(k)}^{}a_{k} \tag{1,2}$$
记为所有\(a_{k}\)之和的缩写，\(k\)是满足性质\(P(k)\)的整数。
我们可以使用APL语言，例如：
$$ [p\mbox{是素数}]=
\left\{
\begin{matrix}
1,p\mbox{是素数}
\\
0,p\mbox{不是素数}
\end{matrix}\right. $$
简便表示公式(2.2)为
$$\sum_{k}^{}a_{k}[P(k)] \tag{1,3}$$
有时\(a_{k}\)对某些\(k\)无意义；但是我们认为\([P(k)]\)优先级更高，若其值为0可以规避这个问题。例如：
$$\sum_{p}^{}[p\mbox{是素数}][p\leq N]\frac{1}{p}$$
表示所有不大于\(N\)的素数的倒数和。其中\(0\)由于不是素数第一时间\([p\mbox{是素数}]\)被认为是\(0\)来规避无意义的情况。
4. 注意事项
不要画蛇添足的将下式
$$\sum_{k=0}^{n}k(k-1)(n-k)$$
改为
$$\sum_{k=2}^{n-1}k(k-1)(n-k)$$
虽然省略的三项的确为\(0\)，但是在变换时却会带来麻烦。