1. 微分和差分
我们分别使用\(D\)和\(\Delta\)表示微分(导数)和差分：
$$Df(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
$$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$$
2. 上升/下降 阶乘幂
我们定义：
$$x^{\underline{m}}=x(x-1)\cdots (x-m+1), \quad \mbox{整数}m\geq 0 \tag{5.1}$$
为下降阶乘幂，即为\({P_{x}}^{m}\)的值。
$$x^{\overline{m}}=x(x+1)\cdots (x+m-1), \quad \mbox{整数}m\geq 0 \tag{5.2}$$
为上升阶乘幂。
为什么需要这么定义？我们观察对\(x^m\)求微分，得到的式子相对简单：
$$D(x^m)=mx^{m-1} \tag{5.3}$$
对于差分而言这个函数并没有简单的结果，但是下降阶乘幂的差分形式类似的简单，有：
$$\begin{align*}\Delta (x^{\underline{m}})&=(x+1)^m-x^m \\&=(x+1)x\cdots (x-m+2)-x\cdots (x-m+2)(x-m+1)\\&= mx(x-1)\cdots (x-m+2)=mx^{\underline{m-1}}\end{align*}$$
3.积分算子与求和算子
我们使用积分与导数的类似关系来定义差分与求和。例如我们有：
$$g(x)=Df(x)\mbox{当且仅当}\int g(x)dx=f(x)+c$$
类似的，定义一个求和算子：
$$g(x)=\Delta f(x)\mbox{当且仅当}\sum g(x)\delta x=f(x)+c$$
对于定积分有：
$$\int_{a}^{b}g(x)dx=f(x)|_{a}^{b}=f(b)-f(a)$$
同理也可以有确定的和式：
$$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=f(x)|_{a}^{b}=f(b)-f(a) \tag{5.4}$$
虽然我们使用类比的方式进行了定义，但是其真正的含义是什么呢？
如果\(b=a\)首先有：
$$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=f(a)-f(a)=0$$
如果\(b=a+1\)有：
$$\sum_{a}^{a+1}g(x)\delta x=f(a+1)-f(a)=g(a)$$
最后，如果\(b\)增加\(1\)，有：
$$\sum_{a}^{b+1}g(x)\delta x-\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=f(b+1)-f(a)-(f(b)-f(a))=f(b+1)-f(b)=g(b)$$
由此观察归纳易得当\(a,b\)均为整数且\(b\geq a\)时，该式有了准确的含义：
$$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=\sum_{k=a}^{b-1}g(k)=\sum_{a\leq k\leq b}g(k),\quad \mbox{整数}b\geq a \tag{5.5}$$
换而言之，也就是：
$$\sum_{a\leq k\leq b}g(k)=f(b)-f(a)$$
4.求和算子的性质
通过把式子带回很容易得到以下性质：
$$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x=-\sum_{b}^{a}g(x)\delta x$$
$$\sum_{a}^{b}g(x)\delta x+\sum_{b}^{c}g(x)\delta x=\sum_{a}^{c}g(x)\delta x$$
5. 上一节的证明方法
根据(5.3)有：
$$\sum_{0\leq k< n}k^{\underline{m}}=\frac{k^{\underline{m+1}}}{m+1}|_{0}^{n}=\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1},\quad \mbox{整数}m,n\geq 0 \tag{5.6}$$
根据\(k^{\underline{1}}=k\)，带入上式有：
$$\sum_{0\leq k< n}k=\frac{n^{\underline{2}}}{2}=n(n-1)/2$$
同时，对于幂次为2时有：\(k^2=k^{\underline{2}}+k^{\underline{1}}\)
所以：
$$\sum_{0\leq k< n}k^2=\frac{n^{\underline{3}}}{3}+\frac{n^{\underline{2}}}{2}=\frac{1}{3}n(n-\frac{1}{2})(n-1)$$
这就是上一讲内容中的第五种方法。
6. 幂次为负的下降幂
当\(m<0\)时的\(x^{\underline{m}}\)应该如何定义呢？我们参考\(m\)为正数的一些特殊值
$$x^{\underline{3}}=x(x-1)(x-2)$$
$$x^{\underline{2}}=x(x-1)$$
$$x^{\underline{1}}=x$$
$$x^{\underline{0}}=1$$
那么观察容易发现，如果变为\({x^\underline{-1}}\)，那么应该再除以\(x+1\)，于是有：
$$x^{\underline{-1}}=\frac{1}{x+1}$$
$$x^{\underline{-2}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$$
于是一般定义为：
$$x^{\underline{-m}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+m)} \tag{5.7}$$
7. 下降幂的性质
$$x^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}} \tag{5.8}$$
这个法则可以通过展开得到。
8.下降幂的差分与求和
容易验证即使幂次小于\(0\)，差分公式\((5.3)\)依然成立，例如\(m=-2\)时：
$$\Delta x^{\underline{-2}}=\frac{1}{(x+2)(x+3)}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}=-2x^{\underline{-3}}$$
所以只要分母不为0就有：
$$\sum_{a}^{b}x^{\underline{m}}\delta x=\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}|_{a}^{b},\quad m\neq -1$$
如果\(m=-1\)那么就需要按照实际情况出发，我们希望有\(f(x)\)满足：
$$x^{\underline{-1}}=\frac{1}{x+1}=\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$$
不难想到，\(f(x)\)是调和数\(H_x\)，即：
$$f(x)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{x}$$
然而我们知道如果是\(x^{-1}\)的积分结果是\(ln x\)。也就是说\(ln x\)和调和数之间有一种联系，具体关系将在后续内容更新。
于是，我们就得到了下降幂的完整叙述：
$$\sum_{a}^{b} x^{\underline{m}}\delta x=\left\{ \begin{matrix}\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}|_{a}^{b},\quad m\neq -1,\\H_x|_{a}^{b},\quad m=-1.\end{matrix}\right. \tag{5.9}$$
9.几个实例
接下来我们来探究\(e^x\)是否也有一个类似物满足差分性质，即满足\(\Delta f(x)=f(x)\)：
$$f(x+1)-f(x)=f(x) \Leftrightarrow f(x+1)=2f(x)$$
可以使用\(f(x)=2^x\)作为离散指数函数。
\(c^x\)的差分也相当简单：
$$\Delta (c^x)=c^{x+1}-c^{x}=(c-1)c^x$$
可以通过这个式子推出几何级数的和：
$$\sum_{a\leq k<b}c^k=\sum_{a}^{b}c^x\delta x=\frac{c^x}{c-1}|_{a}^{b}=\frac{c^b-c^a}{c-1},c\neq 1$$
10.差分运算法则
对于复合函数，微分有链式求导法，但是对于差分却没有什么好方法。
然而，对于\(\Delta (f(x)g(x))\)可以使用类似积分中的分部积分方法：
$$\begin{align*}\Delta (u(x)v(x))&=u(x+1)v(x+1)-u(x)v(x) \\&=u(x+1)v(x+1)-u(x)v(x+1)+u(x)v(x+1)-u(x)v(x)\\&=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x)\end{align*} \tag{5.10}$$
定义\(Ef(x)=f(x+1)\)为移位算子，则：
$$\Delta (uv)=u\Delta v+Ev\Delta u$$
$$\sum u\Delta v=uv-\sum Ev\Delta u$$
和分部积分非常类似，当左边比右边更难处理时可以进行转换。
在（四）中，我们发现了一个\(\sum_{0\leq k< n}H_k\)的公式，但是如果我们知道了分部求和就可以求出较复杂形式\(\sum_{0\leq k< n}kH_k\)的公式，
让\(u(x)=H_x\)，\(\Delta v(x)=x=x^{\underline{1}}\)；\(\Delta u(x)=x^{\underline{-1}}\)，\(v(x)=x^{\underline{2}}/2\)，\(Ev(x)=(x+1)^{\underline{2}}/2\)，于是有：
$$\sum xH_x\delta x=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\sum \frac{(x+1)^{\underline{2}}}{2}x^{\underline{-1}}\delta x=\frac{x^{\underline{2}}}{2}H_x-\frac{x^{\underline{2}}}{4}+C$$
可以得到最后的结论：
$$\sum_{0\leq k< n}kH_k=\sum xH_x\delta x=\frac{n^{\underline{2}}}{2}\left ( H_n-\frac{1}{2} \right ) \tag{5.11}$$