1. 三大定律
(1) 分配律
$$\sum_{k\in K}^{}c\cdot a_{k}= c\cdot \sum_{k\in K}^{}a_{k} \tag{2.1}$$
利用分配律可以把常数移入或者移除\(\sum\)。
(2) 结合律
$$\sum_{k\in K}^{}(a_{k}+b_{k})= \sum_{k\in K}^{}a_{k}+\sum_{k\in K}^{}b_{k} \tag{2.2}$$
利用结合律可以把\(\sum\)分成两个部分或者进行合并。
(3) 交换律
$$\sum_{k\in K}^{}a_{k}= \sum_{p(k)\in K}^{}a_{p(k)} \tag{2.3}$$
利用交换律可以采用任何方法重新排序。\(p(k)\)是所有整数集合的一个排列，也就是说对于每一个整数\(n\)，都恰好存在一个整数\(k\)，使得\(p(k)=n\)。
2.组合法则
$$\sum_{k\in K}^{}a_{k}+\sum_{k\in {K}’}^{}a_{k}= \sum_{k\in K\cap {K}’}^{}a_{k}+\sum_{k\in K\cup{K}’}^{}a_{k} \tag{2.4}$$
该法则很容易使用Venn图进行理解。
3. 扰动法
面对一个和式\(S_n\)，
$$S_n=\sum_{0\leq k\leq n}^{}a_{k}$$
可以通过分别将最后一项和第一项分离出来的方法改写\(S_{n+1}\):
\[\begin{align*} S_n+a_{n+1}=\sum_{0\leq k\leq {n+1}}^{}a_{k}&=a_0+\sum_{1\leq k\leq {n+1}}^{}a_{k}\\ &=a_0+\sum_{1\leq {k+1}\leq {n+1}}^{}a_{k+1}\\ &=a_0+\sum_{0\leq {k}\leq {n}}^{}a_{k+1} \end{align*} \tag{2.5}\]
方法\((2.5)\)是一种常用于可以用\(S_n\)表示\(\sum_{0\leq {k}\leq {n}}^{}a_{k+1}\)的问题。
例如几何级数，
$$S_n=\sum_{0\leq k\leq n}^{}a\cdot x^{k}$$
就可以使用此方法解决，但是相较于简单，我们举一个略微复杂的例子：
$$S_n=\sum_{0\leq k\leq n}^{}k\cdot 2^{k}$$
根据前面的推导易得：
$$\begin{align*} S_n+(n+1)2^{n+1}&=\sum_{0\leq k\leq n}^{}(k+1)2^{k+1}\\ &=\sum_{0\leq k\leq n}^{}k2^{k+1}+\sum_{0\leq k\leq n}^{}2^{k+1}\\ &=2S_n+\sum_{0\leq {k}\leq {n}}^{}2^{k+1} \end{align*}$$
上式中最后一项可以使用几何级数和（或者直接用等比数列求和）求出，最后可以得到结果：
$$\sum_{0\leq k\leq n}^{}k\cdot 2^{k}=(n-1)2^{n+1}+2$$
4. 求和与求导
将上式中的\(2\)换回\(x\)后，可以得到
$$S_n+(n+1)x^{n+1}=xS_n+\sum_{0\leq {k}\leq {n}}^{}x^{k+1}=xS_n+\frac{x-x^{n+2}}{1-x}$$
得到
$$\sum_{0\leq k\leq n}^{}k\cdot x^{k}=\frac{x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}}{(1-x)^2} \tag{2.6}$$
但是同时，我们也可以使用求导来得到答案，利用：
$$\sum_{0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
对等式两边进行求导可以得到
$$\sum_{0}^{n}kx^{k-1}=\frac{(1-x)(-(n+1)x^n)+1-x^{n+1}}{(1-x)^2}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$$
该式乘以\(x\)后与\((2.6)\)相同