1. 多重和式的定义
当和式中有两个或更过指标确定时，称此和式为多重和式，例如：
$$\sum_{1\leq j,k\leq 3}^{}=a_1 b_1+a_1 b_2+a_1 b_3+a_2 b_1+a_2 b_2+a_2 b_3+a_3 b_1+a_3 b_2+a_3 b_3$$
上式是一个九项的二重和式。
同时也可以使用多个\(\sum\)符号，例如：
$$\sum_{j}^{} \sum_{k}^{}a_{j,k}[P(j,k)]$$
是下式的缩写：
$$\sum_{j}^{} \left ( \sum_{k}^{}a_{j,k}[P(j,k)]\right )$$
表示的是\(a_{j,k}[P(j,k)]\)先对所有k求和，再对所有的j求和。
2. 交换求和次序的基本法则
在二次分式中，我们可以对结合律(2.2)进行推广，得到：
$$\sum_{j}^{} \sum_{k} ^{}a_{j,k}[P(j,k)]=\sum_{P(j,k)}^{} a_{j,k}=\sum_{k}^{} \sum_{j}^{}a_{j,k}[P(j,k)] \tag{3.1}$$
这个公式可以理解为是交换求和的次序，用以简便计算。
3. 一般分配律
我们可以使用一般分配律对最前面的式子进行因式分解：
$$\sum_{\mbox{$\begin{array}{c}j\in J\\ k\in K \end{array}$}}a_{j}b_{k}=\left (\sum_{j\in J}^{}a_{j}\right )\left (\sum_{k\in K}^{}b_{k}\right ) \tag{3.2}$$
4. 基本法则的变形
简易型：比较简单，本质就是基本法则的另一种写法：
$$\sum_{j\in J}^{} \sum_{k\in K} ^{}a_{j,k}=\sum_{\mbox{$\begin{array}{c}j\in J\\ k\in K \end{array}$}}a_{j,k}=\sum_{k\in K}^{} \sum_{j\in J}^{}a_{j,k}$$
简易型的公式适用于\(j\)与\(k\)范围无关时使用。
复杂型：这种类型需要技巧，但是适用面更广。
$$\sum_{j\in J}^{} \sum_{k\in K(j)} ^{}a_{j,k}=\sum_{k\in {K}’}^{} \sum_{j\in {J}'(k)}^{}a_{j,k}$$
$$[j\in J][k\in K(j)]=[k\in {k}’][j\in {j}'(k)]$$
可能抽象的式子会看起来很难，我们列举一个实例：
$$[1\leq j\leq n][j\leq k\leq n]=[1\leq j\leq k\leq n]=[1\leq k\leq n][1\leq j\leq k]$$
这个等式可以使用矩阵方式进行理解。则公式变为：
$$\sum_{j=1}^{n} \sum_{k=j} ^{n}a_{j,k}=\sum_{1\leq j\leq k\leq n}^{}a_{j,k}=\sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}a_{j,k}$$
5. 一个例子
假设
$$S=\sum_{1\leq j< k\leq n}^{}(a_k-a_j)(b_k-b_j)$$
由于交换j和k时有对称性故而
$$S=\sum_{1\leq j< k\leq n}^{}(a_k-a_j)(b_k-b_j)=\sum_{1\leq k< j\leq n}^{}(a_k-a_j)(b_k-b_j)$$
利用恒等式
$$[1\leq j< k\leq n]+[1\leq k< j\leq n]=[1\leq j,k\leq n]-[1\leq j=k\leq n]$$
得到
$$2S=\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}(a_k-a_j)(b_k-b_j)-\sum_{1\leq j=k\leq n}^{}(a_k-a_j)(b_k-b_j)$$
第二个和式为0，第一个和式可以进行展开：
$$\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_jb_j-\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_jb_k-\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_kb_j+\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_kb_k$$
合并同类项并根据一般分配律(3.2)等于
$$\begin{align*} &=2\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_kb_k-2\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_jb_k\\ &=2\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_kb_k-2\left ( \sum_{j=1}^{n}a_j \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k \right ) \end{align*}$$
对于前面一项，需要注意\(j\)似乎是没有被使用的，所以化简需要特别小心。
$$\begin{align*} 2\sum_{1\leq j,k\leq n}^{}a_kb_k&=2\sum_{1\leq k\leq n}^{}\sum_{1\leq j\leq n}^{}a_kb_k\\ &=2\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_kb_k \sum_{1\leq j\leq n}^{}1 \\&=2\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_kb_k\cdot n=2n\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_kb_k\end{align*}$$
最后可以得到：
$$S=n\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_kb_k-\left ( \sum_{j=1}^{n}a_j \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k \right )$$
将\(S\)带回，即
$$\left ( \sum_{j=1}^{n}a_j \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k \right ) =n\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_kb_k-\sum_{1\leq j< k\leq n}^{}(a_k-a_j)(b_k-b_j)$$
这个式子可以得到切比雪夫单调不等式的一个特例：
$$\left ( \sum_{j=1}^{n}a_j \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k \right ) \leq n\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_kb_k , a_1\leq \cdots \leq a_n\mbox{且}b_1\leq \cdots \leq b_n$$
$$\left ( \sum_{j=1}^{n}a_j \right )\left ( \sum_{k=1}^{n}b_k \right ) \geq n\sum_{1\leq k\leq n}^{}a_kb_k , a_1\leq \cdots \leq a_n\mbox{且}b_1\geq \cdots \geq b_n$$
6. 一个实例
$$S_n=\sum_{1\leq j< k\leq n}\frac{1}{k-j}$$
例如\(S_3=\frac{1}{2-1}+\frac{1}{3-1}+\frac{1}{3-2}=\frac{5}{2}\)
我们先使用第一种方式化简：
$$\begin{align*} S_n&=\sum_{1\leq k\leq n}^{}\sum_{1\leq j< k}^{}\frac{1}{k-j} \qquad\mbox{首先对j求和} \\&=\sum_{1\leq k\leq n}^{}\sum_{1\leq k-j< k}^{}\frac{1}{j} \qquad\mbox{用k-j替换j} \\&=\sum_{1\leq k\leq n}^{}\sum_{0\leq j<k-1}^{}\frac{1}{j} \qquad\mbox{简化} \\&=\sum_{0\leq k\leq n}^{}H_{k-1} \qquad\mbox{调和数定义} \\&=\sum_{1\leq k+1\leq n}^{}H_{k} \qquad\mbox{用k+1替换k} \\&=\sum_{1\leq k< n}^{}H_{k} \qquad\mbox{简化}\end{align*}$$
这里，我们对调和数\(H_n\)进行定义：
$$H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$$
在《计算机程序设计》1.2.7中有关于调和数的具体讨论，后续文章也会持续更新。
回到刚刚的推导中，\(\sum_{1\leq k< n}^{}H_{k}\)无法继续推导。同时如果先对k求和，也会得到类似的答案。
我们只能使用一种新的方式化简：
$$\begin{align*} S_n&=\sum_{1\leq j<k\leq n}^{}\frac{1}{k-j} \\&=\sum_{1\leq j<j+k\leq n}^{}\frac{1}{k} \qquad\mbox{用k+j替换k} \\&=\sum_{1\leq k\leq n}^{}\sum_{1\leq j\leq n-k}^{}\frac{1}{k} \qquad\mbox{先对j求和} \\&=\sum_{1\leq k\leq n}^{}\frac{n-k}{k} \\&=\sum_{1\leq k\leq n}^{}\frac{n}{k}-\sum_{1\leq k\leq n}^{}1 \\ &=n\sum_{1\leq k\leq n}^{}\frac{1}{k}-n\\ &=nH_n-n\end{align*}$$
这个新化简可以得到最简值，同时根据之前的计算，可以得到一个恒等式：
$$\sum_{0\leq k<n}H_k=nH_n-n \tag{3.3}$$
有两种方式理解这种技巧：
（1）代数
如果有一个包含\(k+f(j)\)的二重和式[本题中是\(\frac{1}{k-j}\)的分母]，则用\(k-f(j)\)替换\(k\)并对\(j\)求和比较好。
（2）几何
先考虑\(S_n,(n=4)\)，对应形成的矩阵是
$$\begin{matrix}& k=1 &k=2 & k=3& k=4\\ j=1& & \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ j=2 & & & \frac{1}{1} & \frac{1}{2}\\ j=3 & & & &\frac{1}{1} \\ j=4 & & & & \end{matrix}$$
开始的方法本质是先对\(j\)求和（按行）或者先对\(k\)求和（按列）。成功的方式是按照对角线求和。对应解法的第三行，先当\(k=1\)时，对应\(\sum_{1\leq j\leq 3(n-1)} \frac{1}{1}\)，也就是最下面的对角线之和。